排列组合

近4年CSPJ初赛考察：

	题号	题型	分值
2020	第10、14、15题	单项选择	6分
2021	第10题		2分
2023	第6、14题		4分

难度：困难

⚡快问快答 题目数量 共3题

1、有五副不同颜色的手套（共 10 只手套，每副手套左右手各 1 只），一次性从中取 6 只手套，请问恰好能配成两副手套的不同取法有（ ）种。

A. 120

B. 180

C. 150

D. 30

2、6个人，两个人组一队，总共组成三只不区分队伍的编号，不同的组队情况有（）种。

A.10

B.15

C.30

D.20

3、甲、乙、丙三位同学选修课程，从 4 门课程中，甲选修 2 门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有（ ）种。

A. 36

B. 48

C. 96

D. 192

计数模型总结

排列组合的本质是计数，计数的本质是枚举。问题简单时，可以直接枚举，问题复杂时，首先对问题归类，采用不同策略。下面就来介绍一些经典的计数模型。

不同元素之间的模型

特元特位

特征：有特殊要求得元素或者位置，即特元特位。 方法：特殊的需要优先计算，再去考虑其他元素、位置；如果多个特殊有冲突，特殊位可以直接枚举。

元素相邻

特征：要求n个元素必须相邻 方法：可采取捆绑法。将这n个元素捆绑后视为1个“新元素”，与剩余元素进行操作，最后捆绑内部在进行全排列。

元素不相邻

特征：要求n个元素不相邻 方法：可采用插空法。有(m+n)个元素，其中(m+1)≥n，要求n个元素互不相邻，则先安排m个元素，形成(m+1)个空，再将n个元素安排到(m+1)个空位上。

分组与分配

特征：将不同元素分配给不同对象 方法：按照先分组，再分配的原则进行。其中分组有：平均分组，不平均分组，部分平均分组；分配有定向分配和不定向分配。

分配种类	步骤
定向分配	定分组，选元素
不定向分配	定分组，选元素，除相同，再分配

相同元素之间的模型

特征：将相同元素分配给不同对象 方法：采用隔板法。n个相同元素放入m个不同盒子，要求每个盒子至少有一个元素。

📜历年真题

1、有7个一模一样的苹果，放到3个一样的盘子中，盘子可以为空，一共有（）种放法。

A. 7

B. 8

C. 21

D. 3^7

2、5 个小朋友并排站成一列，其中有两个小朋友是双胞胎，如果要求这两个双胞胎必须相邻，则有（ ）种不同排列方法?

A. 48

B. 36

C. 24

D. 72

3、10 个三好学生名额分配到 7 个班级，每个班级至少有一个名额，一共有（ ）种不同的分配方案。

A. 84

B. 72

C. 56

D. 504

4、6个人，两个人组一队，总共组成三只不区分队伍的编号，不同的组队情况有（）种。

A.10

B.15

C.30

D.20

5、把8个同样的球放在5个同样的袋子里，允许有的袋子空着不放，问共有多少种不同的分法？（） 提示：如果8个球都放在一个袋子里，无论是哪个袋子，都只算同一种分法。

A. 22

B. 24

C. 18

D. 20

6、小明在某一天中依次有七个空闲时间段，他想要选出至少一个空闲时间段来练习唱歌，但他希望任意两个练习的时间段之间都有至少两个空闲的时间段让他休息。则小明一共有（）种选择时间段的方案。

A. 31

B. 18

C. 21

D. 33

7、一 个班级有10个男生和12个女生。如果要选出一个3人的小组， 并且小组中必须 至少包含1个女生， 那么有多少种可能的组合? ( )

A. 1420

B. 1770

C. 1540

D. 2200